信号与系统

相关信息

信号与系统作为电通考研唯一专业课，其重要程度不言而喻。可以认为，学院将信号与系统认定是本科期间最核心的一门课。因此其考察深度和难度以及学习必要程度都位居本科课程前列。

信号与系统常见变换对照表

1. 基本定义 (Definitions)

变换类型	正变换 (Forward)	反变换 (Inverse)
连续傅里叶 (CTFT)	$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$	$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$
单边拉普拉斯 (Laplace)	$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$	$f(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} ds$
单边 Z 变换 (Z-Trans)	$F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k) z^{-k}$	$f(k) = \frac{1}{2\pi j} \oint_{L} F(z) z^{k-1} dz$
离散时间傅里叶 (DTFT)	$F(e^{j\theta}) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k) e^{-j\theta k}$	$f(k) = \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} F(e^{j\theta}) e^{j\theta k} d\theta$

2. 线性、时移与频移性质

性质	连续傅里叶 (CTFT)	拉普拉斯 (S域)	Z 变换 (Z域)	离散傅里叶 (DTFT)
线性	$af_1+bf_2 \leftrightarrow aF_1+bF_2$	$af_1+bf_2 \leftrightarrow aF_1+bF_2$	$af_1+bf_2 \leftrightarrow aF_1+bF_2$	$af_1+bf_2 \leftrightarrow aF_1+bF_2$
时移	$f(t \pm t_0) \leftrightarrow e^{\pm j\omega t_0}F(j\omega)$	$f(t \pm t_0) \leftrightarrow e^{\pm st_0}F(s)$	$f(k \pm m) \leftrightarrow z^{\pm m}F(z)$ (双边)	$f(k \pm m) \leftrightarrow e^{\pm j\theta m}F(e^{j\theta})$
频移	$e^{\pm j\omega_0 t}f(t) \leftrightarrow F(j(\omega \mp \omega_0))$	$e^{\pm s_0 t}f(t) \leftrightarrow F(s \mp s_0)$	$a^k f(k) \leftrightarrow F(z/a)$ (尺度变换)	$e^{\pm j\theta_0 k}f(k) \leftrightarrow F(e^{j(\theta \mp \theta_0)})$

3. 尺度变换与反转

性质	连续傅里叶 (CTFT)	拉普拉斯 (S域)	Z 变换 (Z域)	离散傅里叶 (DTFT)
尺度变换	$f(at+b) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} e^{j\frac{b}{a}\omega} F(j\frac{\omega}{a})$	$f(at+b) \leftrightarrow \frac{1}{|a|} e^{\frac{b}{a}s} F(\frac{s}{a})$	$a^k f(k) \leftrightarrow F(\frac{z}{a})$	$f_{(n)}(k) \leftrightarrow F(e^{jn\theta})$
反转	$f(-t) \leftrightarrow F(-j\omega)$	$f(-t) \leftrightarrow F(-s)$	$f(-k) \leftrightarrow F(z^{-1})$ (双边)	$f(-k) \leftrightarrow F(e^{-j\theta})$

4. 卷积与微分/差分

性质	连续傅里叶 (CTFT)	拉普拉斯 (S域)	Z 变换 (Z域)	离散傅里叶 (DTFT)
时域卷积	$f_1 * f_2 \leftrightarrow F_1 \cdot F_2$	$f_1 * f_2 \leftrightarrow F_1 \cdot F_2$	$f_1 * f_2 \leftrightarrow F_1 \cdot F_2$	$f_1 * f_2 \leftrightarrow F_1 \cdot F_2$
频域卷积	$f_1 \cdot f_2 \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} F_1 * F_2$	(见时移项补项)	$f(k-1) \leftrightarrow z^{-1}F(z) + f(-1)$	$f_1 \cdot f_2 \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} F_1(e^{j\psi})F_2(e^{j(\theta-\psi)})d\psi$
时域微分/差分	$f'(t) \leftrightarrow j\omega F(j\omega)$	$f'(t) \leftrightarrow sF(s) - f(0_-)$	$f(k+1) \leftrightarrow zF(z) - zf(0)$	$f(k)-f(k-1) \leftrightarrow (1-e^{-j\theta})F(e^{j\theta})$
复频域微分	$tf(t) \leftrightarrow j\frac{dF(j\omega)}{d\omega}$	$-tf(t) \leftrightarrow \frac{dF(s)}{ds}$	$kf(k) \leftrightarrow -z\frac{dF(z)}{dz}$	$kf(k) \leftrightarrow j\frac{dF(e^{j\theta})}{d\theta}$

5. 积分/累加与数值定理

性质	连续傅里叶 (CTFT)	拉普拉斯 (S域)	Z 变换 (Z域)	离散傅里叶 (DTFT)
时域积分/累加	$\int_{-\infty}^t f(x)dx \leftrightarrow \frac{F(j\omega)}{j\omega} + \pi F(0)\delta(\omega)$	$\int_{0_-}^t f(x)dx \leftrightarrow \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{(-1)}(0_-)}{s}$	$\sum_{i=0}^k f(i) \leftrightarrow \frac{z}{z-1}F(z)$	$\sum_{i=-\infty}^k f(i) \leftrightarrow \frac{F(e^{j\theta})}{1-e^{-j\theta}} + \pi F(e^{j0})\sum \delta(\theta-2\pi k)$
初值定理	/	$f(0_+) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$	$f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z)$	/
终值定理	/	$f(\infty) = \lim_{s \to 0} sF(s)$	$f(\infty) = \lim_{z \to 1} (z-1)F(z)$	/
帕斯瓦尔定理	$\int	f(t)	^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int	F(j\omega)

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为了方便你在 Markdown 环境（如 VS Code, Obsidian, Typora 等）中查看，我将这些公式整理成了三个独立的对照表。我对原始文本中一些明显的笔误（如 $e^{-\alpha z}$ 应为 $e^{-\alpha t}$）进行了修正，并统一了数学符号。

常用连续变换定义

变换类型	定义式
连续傅里叶变换	$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$
单边拉普拉斯变换	$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$
单边 Z 变换	$F(z) = \sum_{k=0}^{\infty} f(k) z^{-k}$

1. 连续傅里叶变换对 (CTFT)

时域函数 $f(t)$	频域象函数 $F(j\omega)$	备注
$\delta(t)$	$1$	单位冲激
$1$	$2\pi \delta(\omega)$	直流信号
$\delta^{(n)}(t)$	$(j\omega)^n$	冲激的 $n$ 阶导数
$\varepsilon(t)$	$\frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)$	单位阶跃
$t\varepsilon(t)$	$j\pi \delta'(\omega) - \frac{1}{\omega^2}$	斜坡函数
$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\frac{1}{\alpha + j\omega}$	指数信号 ($\alpha > 0$)
$te^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\frac{1}{(\alpha + j\omega)^2}$
$\cos(\omega_0 t)$	$\pi [\delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0)]$
$\sin(\omega_0 t)$	$j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]$
$e^{\pm j\omega_0 t}$	$2\pi \delta(\omega \mp \omega_0)$	复指数
$1/t$	$-j\pi \operatorname{sgn}(\omega)$	希尔伯特变换相关

2. 单边拉普拉斯变换对 (Laplace)

时域函数 $f(t), t \geq 0$	象函数 $F(s)$	备注
$\delta(t)$	$1$	单位冲激
$\delta'(t)$	$s$
$\varepsilon(t)$	$\frac{1}{s}$	单位阶跃
$t\varepsilon(t)$	$\frac{1}{s^2}$
$t^n\varepsilon(t)$	$\frac{n!}{s^{n+1}}$
$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\frac{1}{s + \alpha}$
$te^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\frac{1}{(s + \alpha)^2}$
$\cos(\beta t)\varepsilon(t)$	$\frac{s}{s^2 + \beta^2}$
$\sin(\beta t)\varepsilon(t)$	$\frac{\beta}{s^2 + \beta^2}$
$\cosh(\beta t)\varepsilon(t)$	$\frac{s}{s^2 - \beta^2}$	双曲余弦
$\sinh(\beta t)\varepsilon(t)$	$\frac{\beta}{s^2 - \beta^2}$	双曲正弦
$e^{-\alpha t}\cos(\beta t)\varepsilon(t)$	$\frac{s + \alpha}{(s + \alpha)^2 + \beta^2}$	有始衰减正弦
$e^{-\alpha t}\sin(\beta t)\varepsilon(t)$	$\frac{\beta}{(s + \alpha)^2 + \beta^2}$

3. 单边 Z 变换对 (Z-Transform)

离散序列 $f(k), k \geq 0$	象函数 $F(z)$	备注
$\delta(k)$	$1$	单位序列
$\delta(k-m)$	$z^{-m}$	延迟单位序列
$\varepsilon(k)$	$\frac{z}{z-1}$	单位阶跃序列
$\varepsilon(k-m)$	$\frac{z}{z-1} \cdot z^{-m}$
$k\varepsilon(k)$	$\frac{z}{(z-1)^2}$	等差序列
$k^2\varepsilon(k)$	$\frac{z^2+z}{(z-1)^3}$
$a^k\varepsilon(k)$	$\frac{z}{z-a}$	指数序列
$(k+1)a^k\varepsilon(k)$	$\frac{z^2}{(z-a)^2}$
$ka^{k-1}\varepsilon(k)$	$\frac{z}{(z-a)^2}$
$\frac{k(k-1)}{2}\varepsilon(k)$	$\frac{z}{(z-1)^3}$
$\frac{(k+1)k}{2}\varepsilon(k)$	$\frac{z^2}{(z-1)^3}$
$\frac{a^k - b^k}{a - b}\varepsilon(k)$	$\frac{z}{(z-a)(z-b)}$
$\cos(\beta k)\varepsilon(k)$	$\frac{z(z - \cos \beta)}{z^2 - 2z\cos \beta + 1}$
$\sin(\beta k)\varepsilon(k)$	$\frac{z\sin \beta}{z^2 - 2z\cos \beta + 1}$

以下部分内容补充了大量复杂的变换对，特别是包含带相位的三角函数、有理分式展开形式以及特殊的级数序列。

1. 连续傅里叶变换补充 (CTFT)

主要包含：双边指数信号、典型脉冲信号（矩形、三角形、余弦脉冲）及周期信号。

时域函数 $f(t)$	频域象函数 $F(j\omega)$	备注
$e^{-\alpha	t	}, \alpha > 0$
$t^n$	$2\pi j^n \delta^{(n)}(\omega)$	冲激的高阶导数
$\operatorname{sgn}(t)$	$\frac{2}{j\omega}$	符号函数
$f(t) = \begin{cases} -e^{\alpha t}, t < 0 \\ e^{-\alpha t}, t > 0 \end{cases}$	$-j\frac{2\omega}{\alpha^2 + \omega^2}$	奇对称指数信号
$\cos(\frac{\pi}{\tau}t),	t	< \frac{\tau}{2}$
$\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n e^{jn\Omega t}$	$2\pi \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \delta(\omega - n\Omega)$	周期信号 (傅里叶级数形式)
$\delta_T(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT)$	$\Omega \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n\Omega)$	冲激序列 ($\Omega = \frac{2\pi}{T}$)
$g_\tau(t) = \begin{cases} 1,	t	< \frac{\tau}{2} \ 0,
$\frac{W}{\pi} \operatorname{Sa}(Wt)$	$F(j\omega) = \begin{cases} 1,	\omega
$f_\Delta(t) = (1 - \frac{2	t	}{\tau}) \cdot g_\tau(t)$

2. 拉普拉斯变换补充 (Laplace - 有理分式与响应)

这部分常用于电路和控制系统的逆变换分析。

时域函数 $f(t), t \geq 0$	象函数 $F(s)$	备注
$(b_0 t + b_1)\varepsilon(t)$	$\frac{b_1 s + b_0}{s^2}$	线性组合
$\frac{b_0}{\alpha} - (\frac{b_0}{\alpha} - b_1)e^{-\alpha t}$	$\frac{b_1 s + b_0}{s(s+\alpha)}$	一阶系统响应
$\frac{1}{\beta^3}[\beta t - \sin(\beta t)]$	$\frac{1}{s^2(s^2+\beta^2)}$
$\frac{1}{2\beta^3}[\sin(\beta t) - \beta t \cos(\beta t)]$	$\frac{1}{(s^2+\beta^2)^2}$
$\frac{1}{2\beta} t \sin(\beta t)$	$\frac{s}{(s^2+\beta^2)^2}$
$\frac{1}{2\beta}[\sin(\beta t) + \beta t \cos(\beta t)]$	$\frac{s^2}{(s^2+\beta^2)^2}$
$t \cos(\beta t)$	$\frac{s^2 - \beta^2}{(s^2+\beta^2)^2}$
$[(b_0 - b_1\alpha)t + b_1]e^{-\alpha t}$	$\frac{b_1 s + b_0}{(s+\alpha)^2}$	重根展开
$A e^{-\alpha t} \sin(\beta t + \theta)$	$\frac{b_1 s + b_0}{(s+\alpha)^2 + \beta^2}$	其中 $Ae^{j\theta} = \frac{b_0 - b_1(\alpha - j\beta)}{\beta}$

3. Z 变换补充 (Z-Transform - 移相与特殊级数)

包含带初始相位的正余弦序列和一些特殊的数学级数变换。

离散序列 $f(k), k \geq 0$	象函数 $F(z)$	备注
$\cos(\beta k + \theta)$	$\frac{z^2 \cos\theta - z \cos(\beta - \theta)}{z^2 - 2z \cos\beta + 1}$	带相位余弦
$\sin(\beta k + \theta)$	$\frac{z^2 \sin\theta + z \sin(\beta - \theta)}{z^2 - 2z \cos\beta + 1}$	带相位正弦
$a^k \cos(\beta k)$	$\frac{z(z - a \cos\beta)}{z^2 - 2az \cos\beta + a^2}$	衰减正弦
$a^k \sin(\beta k)$	$\frac{az \sin\beta}{z^2 - 2az \cos\beta + a^2}$
$a^k \cosh(\beta k)$	$\frac{z(z - a \cosh\beta)}{z^2 - 2az \cosh\beta + a^2}$	双曲余弦
$a^k \sinh(\beta k)$	$\frac{az \sinh\beta}{z^2 - 2az \cosh\beta + a^2}$	双曲正弦
$\frac{a^k}{k} \varepsilon(k-1)$	$\ln(\frac{z}{z-a})$	对数级数
$\frac{a^k}{k!}$	$e^{a/z}$	指数级数
$\frac{(\ln a)^k}{k!}$	$a^{1/z}$
$\frac{1}{(2k)!}$	$\cosh\sqrt{\frac{1}{z}}$
$\frac{1}{k+1}$	$z \ln(\frac{z}{z-1})$
$\frac{1}{2k+1}$	$\frac{1}{2}\sqrt{z} \ln\frac{\sqrt{z}+1}{\sqrt{z}-1}$

• Z 变换的 $k!$ 项：这些属于收敛域为全平面的特殊变换，常用于理论分析而非普通的线性差分方程求解。

接续前文，以下是为你整理的补充变换对（包括复杂的脉冲信号、高理分式展开以及双边拉普拉斯与 Z 变换对照表）。

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4. 复杂波形与高阶分式补充 (CTFT / Laplace)

时域函数 $f(t)$	象函数 $F(j\omega)$ 或 $F(s)$	备注
锯齿脉冲：$\begin{cases} \frac{1}{\tau}(t + \frac{\tau}{2}),	t	< \frac{\tau}{2} \ 0,
梯形脉冲：$\begin{cases} 1,	t	< \frac{\tau_1}{2} \ \frac{\tau}{\tau - \tau_1}(1 - \frac{2
$\frac{b_2 s^2 + b_1 s + b_0}{(s + \gamma)[(s + \alpha)^2 + \beta^2]}$	$\left[ \frac{b_0 - b_1\gamma + b_2\gamma^2}{(\alpha - \gamma)^2 + \beta^2} e^{-\gamma t} + Ae^{-\alpha t} \sin(\beta t + \theta) \right] \varepsilon(t)$	Laplace，其中 $Ae^{j\theta} = \frac{b_0 - b_1(\alpha - j\beta) + b_2(\alpha - j\beta)^2}{\beta(\gamma - \alpha + j\beta)}$

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5. 双边拉普拉斯与双边 Z 变换对照表 (Bilateral)

双边变换不仅关注代数式，收敛域 (ROC) 也是定义的关键组成部分。

1. 基础信号与幂函数

信号类型	双边拉普拉斯 $F(s)$ & ROC	双边 Z 变换 $F(z)$ & ROC
单位冲激 $\delta$	$1, \text{全 } s \text{ 平面}$	$1, \text{全 } z \text{ 平面}$
$n$ 阶微分/差分	$\delta^{(n)}(t) \leftrightarrow s^n, \text{有限 } s \text{ 平面}$	$\Delta^n \delta(k) \leftrightarrow \frac{z^n}{(z-1)^n},
单位阶跃 $\varepsilon$	$\frac{1}{s}, \operatorname{Re}\{s\} > 0$	$\frac{z}{z-1},
斜坡/加权阶跃	$t\varepsilon(t) \leftrightarrow \frac{1}{s^2}, \operatorname{Re}\{s\} > 0$	$(k+1)\varepsilon(k) \leftrightarrow \frac{z^2}{(z-1)^2},
$n-1$ 阶幂	$\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\varepsilon(t) \leftrightarrow \frac{1}{s^n}, \operatorname{Re}\{s\} > 0$	$\frac{(k+n-1)!}{k!(n-1)!}\varepsilon(k) \leftrightarrow \frac{z^n}{(z-1)^n},

2. 反因果信号 (Left-sided)

信号类型	双边拉普拉斯 $F(s)$ & ROC	双边 Z 变换 $F(z)$ & ROC
负向阶跃	$-\varepsilon(-t) \leftrightarrow \frac{1}{s}, \operatorname{Re}\{s\} < 0$	$-\varepsilon(-k-1) \leftrightarrow \frac{z}{z-1},
负向斜坡	$-t\varepsilon(-t) \leftrightarrow \frac{1}{s^2}, \operatorname{Re}\{s\} < 0$	$-(k+1)\varepsilon(-k-1) \leftrightarrow \frac{z^2}{(z-1)^2},
负向幂函数	$-\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}\varepsilon(-t) \leftrightarrow \frac{1}{s^n}, \operatorname{Re}\{s\} < 0$	$-\frac{(k+n-1)!}{k!(n-1)!}\varepsilon(-k-1) \leftrightarrow \frac{z^n}{(z-1)^n},

3. 指数与衰减信号

信号类型	双边拉普拉斯 $F(s)$ & ROC	双边 Z 变换 $F(z)$ & ROC
正向指数	$e^{-at}\varepsilon(t) \leftrightarrow \frac{1}{s+a}, \operatorname{Re}\{s\} > \operatorname{Re}\{-a\}$	$a^k\varepsilon(k) \leftrightarrow \frac{z}{z-a},
正向加权指数	$te^{-at}\varepsilon(t) \leftrightarrow \frac{1}{(s+a)^2}, \operatorname{Re}\{s\} > \operatorname{Re}\{-a\}$	$(k+1)a^k\varepsilon(k) \leftrightarrow \frac{z^2}{(z-a)^2},
反向指数	$-e^{-at}\varepsilon(-t) \leftrightarrow \frac{1}{s+a}, \operatorname{Re}\{s\} < \operatorname{Re}\{-a\}$	$-a^k\varepsilon(-k-1) \leftrightarrow \frac{z}{z-a},
正向衰减正弦	$e^{-\alpha t}\sin(\beta t)\varepsilon(t) \leftrightarrow \frac{\beta}{(s+\alpha)^2 + \beta^2}, \operatorname{Re}\{s\} > -\alpha$	$a^k\sin(\beta k)\varepsilon(k) \leftrightarrow \frac{az\sin\beta}{z^2 - 2az\cos\beta + a^2},

4. 双边对称信号

信号类型	变换式 & ROC
双边指数 (S域)	$e^{-a
双边指数 (Z域)	$a^{
双边带符号指数	$e^{-a
双边带符号序列	$a^{

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整理说明：

1. 收敛域 (ROC)：双边变换中，相同的代数式可能对应不同的时域信号（如因果信号和反因果信号），必须通过 ROC 区分。
2. 符号修正：
   • 原稿中的 $s^*$ 或 $z^*$ 在此处根据上下文理解为 $s^n$ 和 $z^n$。
   • $\Delta^n$ 表示 $n$ 阶差分。
   • $\operatorname{Sa}(x) = \frac{\sin x}{x}$。
3. 格式优化：将原本杂乱的公式归类为“因果（右边）”、“反因果（左边）”和“双边”三类，便于对比记忆。

卷积积分一览表

定义式：$f_1(t) * f_2(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f_1(\tau) f_2(t - \tau) d\tau$

函数 $f_1(t)$	函数 $f_2(t)$	卷积结果 $f_1(t) * f_2(t)$
$f(t)$	$\delta(t)$	$f(t)$
$f(t)$	$\delta'(t)$	$f'(t)$
$f(t)$	$\varepsilon(t)$	$\int_{-\infty}^{t} f(\lambda) d\lambda$
$\varepsilon(t)$	$\varepsilon(t)$	$t \varepsilon(t)$
$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\varepsilon(t)$	$\frac{1}{\alpha}(1 - e^{-\alpha t})\varepsilon(t)$
$\varepsilon(t)$	$t \varepsilon(t)$	$\frac{1}{2}t^2 \varepsilon(t)$
$e^{-\alpha_1 t}\varepsilon(t)$	$e^{-\alpha_2 t}\varepsilon(t)$	$\frac{1}{\alpha_2 - \alpha_1}(e^{-\alpha_1 t} - e^{-\alpha_2 t})\varepsilon(t), \quad (\alpha_1 \neq \alpha_2)$
$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$t e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$
$t e^{-\alpha_1 t}\varepsilon(t)$	$e^{-\alpha_2 t}\varepsilon(t)$	$\left[ \frac{(\alpha_2 - \alpha_1)t - 1}{(\alpha_2 - \alpha_1)^2}e^{-\alpha_1 t} + \frac{1}{(\alpha_2 - \alpha_1)^2}e^{-\alpha_2 t} \right] \varepsilon(t), \quad (\alpha_1 \neq \alpha_2)$
$t \varepsilon(t)$	$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\left( \frac{\alpha t - 1}{\alpha^2} + \frac{1}{\alpha^2}e^{-\alpha t} \right) \varepsilon(t)$
$t e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$	$\frac{1}{2}t^2 e^{-\alpha t}\varepsilon(t)$
$e^{-\alpha_1 t}\cos(\beta t + \theta)\varepsilon(t)$	$e^{-\alpha_2 t}\varepsilon(t)$	$\left[ \frac{\cos(\beta t + \theta - \varphi)}{\sqrt{(\alpha_2 - \alpha_1)^2 + \beta^2}}e^{-\alpha_1 t} - \frac{\cos(\theta - \varphi)}{\sqrt{(\alpha_2 - \alpha_1)^2 + \beta^2}}e^{-\alpha_2 t} \right] \varepsilon(t)$

注：上式中 $\varphi = \arctan\left( \frac{\beta}{\alpha_2 - \alpha_1} \right)$。

卷积和一览表

定义式：$f_1(k) * f_2(k) = \sum_{i = -\infty}^{\infty} f_1(i) f_2(k - i)$

函数 $f_1(k)$	函数 $f_2(k)$	卷积结果 $f_1(k) * f_2(k)$
$f(k)$	$\delta(k)$	$f(k)$
$f(k)$	$\varepsilon(k)$	$\sum_{i = -\infty}^{k} f(i)$
$\varepsilon(k)$	$\varepsilon(k)$	$(k + 1)\varepsilon(k)$
$k\varepsilon(k)$	$\varepsilon(k)$	$\frac{1}{2}k(k + 1)\varepsilon(k)$
$a^k\varepsilon(k)$	$\varepsilon(k)$	$\frac{1 - a^{k + 1}}{1 - a}\varepsilon(k), \quad (a \neq 1)$
$a_1^k\varepsilon(k)$	$a_2^k\varepsilon(k)$	$\frac{a_1^{k + 1} - a_2^{k + 1}}{a_1 - a_2}\varepsilon(k), \quad (a_1 \neq a_2)$
$a^k\varepsilon(k)$	$a^k\varepsilon(k)$	$(k + 1)a^k\varepsilon(k)$
$k\varepsilon(k)$	$a^k\varepsilon(k)$	$\left[ \frac{k}{1 - a} + \frac{a(a^k - 1)}{(1 - a)^2} \right]\varepsilon(k)$
$k\varepsilon(k)$	$k\varepsilon(k)$	$\frac{1}{6}(k + 1)k(k - 1)\varepsilon(k)$
$a_1^k\cos(\beta k + \theta)\varepsilon(k)$	$a_2^k\varepsilon(k)$	$\frac{a_1^{k + 1}\cos[\beta(k + 1) + \theta - \varphi] - a_2^{k + 1}\cos(\theta - \varphi)}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2 - 2a_1 a_2\cos\beta}}\varepsilon(k)$

注：上式中 $\varphi = \arctan \left[ \frac{a_1\sin\beta}{a_1\cos\beta - a_2} \right]$。

关于 $\delta(t)$、$\delta(k)$ 函数公式一览表

1. 乘积性质

• $f(t)\delta(t) = f(0)\delta(t)$
• $f(t)\delta(t - t_0) = f(t_0)\delta(t - t_0)$
• $f(t)\delta'(t) = f(0)\delta'(t) - f'(0)\delta(t)$
• $f(t)\delta'(t - t_0) = f(t_0)\delta'(t - t_0) - f'(t_0)\delta(t - t_0)$

2. 奇偶性与尺度变换

• $\delta(-t) = \delta(t)$
• $\delta'(-t) = -\delta'(t)$
• $\delta(at) = \frac{1}{|a|}\delta(t)$
• $\delta[f(t)] = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{|f'(t_i)|}\delta(t - t_i)$ （其中 $t_i$ 为 $f(t)=0$ 的根）

3. 积分与抽样性质

• $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t) dt = f(0)$
• $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t - t_0) dt = f(t_0)$
• $\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta^{(n)}(t) dt = (-1)^n f^{(n)}(0)$
• $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) dt = 1$
• $\int_{-\infty}^{\infty} \delta'(t) dt = 0$

4. 微积分关系

• $\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d\tau = \varepsilon(t)$
• $\int_{-\infty}^{t} \delta'(\tau) d\tau = \delta(t)$
• $\frac{d\varepsilon(t)}{dt} = \delta(t)$

表 6.3 常用的连续傅里叶变换对及其对偶关系

基本定义：
$f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$
$F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$

连续时间函数 $f(t)$	傅里叶变换 $F(\omega)$	相对偶的函数 $f(t)$	相对偶的变换 $F(\omega)$
$\delta(t)$	$1$	$1$	$2\pi \delta(\omega)$
$\frac{d}{dt}\delta(t)$	$j\omega$	$t$	$j2\pi \frac{d}{d\omega}\delta(\omega)$
$\frac{d^k}{dt^k}\delta(t)$	$(j\omega)^k$	$t^k$	$2\pi j^k \frac{d^k}{d\omega^k}\delta(\omega)$
$u(t)$	$\frac{1}{j\omega} + \pi \delta(\omega)$	$\frac{1}{2}\delta(t) - \frac{1}{j2\pi t}$	$u(\omega)$
$t u(t)$	$j\pi \frac{d}{d\omega}\delta(\omega) - \frac{1}{\omega^2}$	(暂略)	(暂略)
$\operatorname{sgn}(t)$	$\frac{2}{j\omega}$	$\frac{j}{\pi t}$	$\operatorname{sgn}(\omega)$
$\delta(t - t_0)$	$e^{-j\omega t_0}$	$e^{j\omega_0 t}$	$2\pi \delta(\omega - \omega_0)$
$\cos(\omega_0 t)$	$\pi [\delta(\omega + \omega_0) + \delta(\omega - \omega_0)]$	$\delta(t + t_0) + \delta(t - t_0)$	$2\cos(\omega t_0)$
$\sin(\omega_0 t)$	$j\pi [\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega - \omega_0)]$	$\delta(t + t_0) - \delta(t - t_0)$	$2j\sin(\omega t_0)$
$g_\tau(t) = \begin{cases} 1, |t| < \tau/2 \\ 0, |t| > \tau/2 \end{cases}$	$\tau \operatorname{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})$	$\frac{W}{\pi} \operatorname{Sa}(Wt)$	$G_W(\omega) = \begin{cases} 1, |\omega| < W \\ 0, |\omega| > W \end{cases}$
$f_\Delta(t) = \begin{cases} 1 - \frac{|t|}{\tau}, |t| < \tau \\ 0, |t| > \tau \end{cases}$	$\tau \operatorname{Sa}^2(\frac{\omega\tau}{2})$	$\frac{W}{2\pi} \operatorname{Sa}^2(\frac{Wt}{2})$	$F_\Delta(\omega) = \begin{cases} 1 - \frac{|\omega|}{W}, |\omega| < W \\ 0, |\omega| > W \end{cases}$
$e^{-at} u(t), \operatorname{Re}\{a\} > 0$	$\frac{1}{a + j\omega}$	$\frac{1}{\tau - jt}, \tau > 0$	$2\pi e^{-\tau \omega} u(\omega)$
$e^{-a	t	}, \operatorname{Re}{a} > 0$	$\frac{2a}{\omega^2 + a^2}$
$e^{-at} \cos(\omega_0 t) u(t)$	$\frac{a + j\omega}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}$	(暂略)	(暂略)
$e^{-at} \sin(\omega_0 t) u(t)$	$\frac{\omega_0}{(a + j\omega)^2 + \omega_0^2}$	(暂略)	(暂略)
$t e^{-at} u(t)$	$\frac{1}{(a + j\omega)^2}$	$\frac{1}{(\tau - jt)^2}, \tau > 0$	$2\pi \omega e^{-\tau \omega} u(\omega)$
$\frac{t^{k-1} e^{-at}}{(k-1)!} u(t)$	$\frac{1}{(a + j\omega)^k}$	(暂略)	(暂略)
$\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \delta(t - lT)$	$\frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \delta(\omega - \frac{2\pi k}{T})$	(周期冲激序列)	(频率冲激序列)
$e^{-(t/\tau)^2}$	$\sqrt{\pi}\tau e^{-(\omega\tau/2)^2}$	(高斯函数自对偶)	(高斯函数自对偶)
$g_\tau(t) \cos(\omega_0 t)$	$\frac{\tau}{2} [\operatorname{Sa}\frac{(\omega + \omega_0)\tau}{2} + \operatorname{Sa}\frac{(\omega - \omega_0)\tau}{2}]$	(调幅脉冲)	(频域叠加)
$\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_k e^{jk\omega_0 t}$	$2\pi \sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_k \delta(\omega - k\omega_0)$	(傅里叶级数)	(离散谱)

连续傅里叶变换性质及其对偶关系

性质名称	时域函数 $f(t)$	频域变换 $F(\omega)$	相对偶性质 (频域/时域)
线性	$\alpha f_1(t) + \beta f_2(t)$	$\alpha F_1(\omega) + \beta F_2(\omega)$	保持一致
尺度变换	$f(at)$	$\frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})$	时域压缩对应频域展宽
对偶性	$F(t)$	$2\pi f(-\omega)$	若 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$
时移/频移	$f(t - t_0)$	$F(\omega) e^{-j\omega t_0}$	$f(t) e^{j\omega_0 t} \leftrightarrow F(\omega - \omega_0)$
微分性质	$\frac{d}{dt} f(t)$	$j\omega F(\omega)$	$-j t f(t) \leftrightarrow \frac{d}{d\omega} F(\omega)$
积分性质	$\int_{-\infty}^t f(\tau) d\tau$	$\frac{F(\omega)}{j\omega} + \pi F(0) \delta(\omega)$	$\frac{f(t)}{-jt} + \pi f(0) \delta(t) \leftrightarrow \int_{-\infty}^\omega F(\sigma) d\sigma$
卷积性质	$f(t) * h(t)$	$F(\omega) H(\omega)$	$f(t) p(t) \leftrightarrow \frac{1}{2\pi} F(\omega) * P(\omega)$
对称性	$f(-t)$	$F(-\omega)$	翻转性质
共轭性质	$f^*(t)$	$F^*(-\omega)$	若 $f(t)$ 为实函数，则 $F(\omega) = F^*(-\omega)$
实部/虚部	$f_e(t) = \operatorname{Ev}\{f(t)\}$	$\operatorname{Re}\{F(\omega)\}$	$f_o(t) = \operatorname{Od}\{f(t)\} \leftrightarrow j\operatorname{Im}\{F(\omega)\}$
希尔伯特变换	$f(t) * \frac{1}{\pi t}$	$F(\omega) \cdot [-j \operatorname{sgn}(\omega)]$	$R(\omega) = I(\omega) * \frac{1}{\pi\omega}$
抽样性质	$f(t) \sum \delta(t - nT)$	$\frac{1}{T} \sum F(\omega - \frac{2\pi k}{T})$	频域抽样对应时域周期化
帕塞瓦尔定理	$\int_{-\infty}^\infty |f(t)|^2 dt$	$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |F(\omega)|^2 d\omega$	能量守恒